2018 AMC 12B 第 18 题

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18.

函数

f

递归定义为

f(1)=f(2)=1

，并且对所有满足

n\ge3

的整数，

f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n\text{。}

求

f(2018)

。

A function

f

is defined recursively by

f(1)=f(2)=1

and

f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n

for all integers

n\ge3.

What is

f(2018)?

2016

2017

2018

2019

2020

答案：B

知识点：递推裂项相消

难度评级：2150

小提示：

计算前几项，观察

f(n)-n

的模式。

Compute several terms and look for a pattern in

f(n)-n

大提示：

将递推式展开四次可得

f(n)=f(n-6)+6

。

Expanding the recursion four times shows

f(n)=f(n-6)+6

解答：

反复将递推式代入自身，可得

f(n)=f(n-6)+6\text{。}

所以每当

n

增加

6

，

f

增加

6

。

因为

2018=2+6\cdot336

，所以

f(2018)=f(2)+6\cdot336

=1+2016=2017

。

正确答案是 B。

Repeatedly substituting the recursion into itself gives

f(n)=f(n-6)+6.

So

f

increases by

6

every time

n

increases by

6.

Since

2018=2+6\cdot336,

we have

f(2018)=f(2)+6\cdot336

=1+2016=2017.

Thus, the correct answer is B.

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