Question

函数 $f$ 递归定义为 $f(1)=f(2)=1$ ，并且对所有满足 $n\ge3$ 的整数，求 $f(2018)$ 。 $f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n$

A function $f$ is defined recursively by $f(1)=f(2)=1$ and $f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n$ for all integers $n\ge3.$ What is $f(2018)?$

$2016$

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

反复将递推式代入自身，可得所以每当 $n$ 增加 $6$ ， $f$ 增加 $6$ 。 $f(n)=f(n-6)+6.$

因为 $2018=2+6\cdot336$ ，所以 $f(2018)=f(2)+6\cdot336$ $=1+2016=2017$ 。

正确答案是 B。

Repeatedly substituting the recursion into itself gives $f(n)=f(n-6)+6.$ So $f$ increases by $6$ every time $n$ increases by $6.$

Since $2018=2+6\cdot336,$ we have $f(2018)=f(2)+6\cdot336$ $=1+2016=2017.$

Thus, the correct answer is B.