Question

有多少个正整数 $x$ 满足 $\log_{10}(x - 40)$ $+ \log_{10}(60 - x) \lt 2$ ？

For how many positive integers $x$ is $\log_{10}(x - 40)$ $+ \log_{10}(60 - x) \lt 2?$

$10$

$18$

$19$

$20$

无限多个

infinitely many

答案：B

知识点：对数不等式二次方程

难度评级：2110

解答：

只有当 $x - 40 \gt 0$ 且 $60 - x \gt 0$ 时，对数才有定义，所以 $40 \lt x \lt 60$ 。

在这个范围内，不等式变为 $(x-40)(60-x) \lt 100$ ，展开得 $x^2 - 100x + 2500 \gt 0$ ，即 $(x-50)^2 \gt 0$ 。这对所有 $x \ne 50$ 成立。

严格介于 $40$ 和 $60$ 之间且不等于 $50$ 的整数为 $41, \ldots, 49$ 和 $51, \ldots, 59$ ，共 $18$ 个。

所以正确答案是 B。

The logarithms are defined only when $x - 40 \gt 0$ and $60 - x \gt 0,$ so $40 \lt x \lt 60.$

Within this range the inequality becomes $(x-40)(60-x) \lt 100,$ which expands to $x^2 - 100x + 2500 \gt 0,$ i.e. $(x-50)^2 \gt 0.$ This holds for every $x \ne 50.$

The integers strictly between $40$ and $60$ except $50$ are $41, \ldots, 49$ and $51, \ldots, 59,$ which is $18$ values.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B 第 20 题

答案：B

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 20 题