2013 AMC 12A 第 20 题

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20.

设

S

为集合

\{1, 2, 3, \ldots, 19\}

。对

a

，

b \in S

，定义

a \succ b

表示

0 \lt a - b \le 9

或

b - a \gt 9

。有多少个由

S

中元素组成的有序三元组

(x, y, z)

满足

x \succ y

、

y \succ z

且

z \succ x

？

Let

S

be the set

\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.

For

a,

b \in S,

define

a \succ b

to mean that either

0 \lt a - b \le 9

or

b - a \gt 9.

How many ordered triples

(x, y, z)

of elements of

S

have the property that

x \succ y,

y \succ z,

and

z \succ x?

810

855

900

950

988

答案：B

知识点：模运算基本计数

难度评级：2220

小提示：

在模

19

意义下考虑；此时

a \succ b

等价于

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9

Work modulo

19;

then

a \succ b

means

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9

大提示：

固定

x

（

19

种）；令

y = x + i

，其中

1 \le i \le 9

，则

z

有

i

种选择

Fix

x

(

19

ways); let

y = x + i

with

1 \le i \le 9,

then

z

has

i

options

解答：

把元素按模

19

来看，关系

a \succ b

恰好在

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9

时成立。

x

有

19

种选择。固定

x

后，令

y = x + i

，其中

1 \le i \le 9

。那么

z

必须满足

x + 10 \le z \le x + 9 + i

，因而有

i

种选择。

总数为

19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45

= 855

。

因此，正确答案是 B。

Reading the elements modulo

19,

the relation

a \succ b

holds exactly when

0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.

There are

19

choices for

x.

Once

x

is fixed, take

y = x + i

for some

1 \le i \le 9.

Then

z

must satisfy

x + 10 \le z \le x + 9 + i,

giving

i

choices.

The total is

19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45

= 855.

Thus, the correct answer is B.

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