Question

复平面中的区域 $S$ 定义为 $\scriptsize S = \{x + iy : -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1\}.$

从 $S$ 中均匀随机选取一个复数 $z = x + iy$ 。 $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)z$ 也在 $S$ 中的概率是多少？

A region $S$ in the complex plane is defined by $\scriptsize S = \{x + iy : -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1\}.$

A complex number $z = x + iy$ is chosen uniformly at random from $S.$ What is the probability that $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)z$ is also in $S?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{8}$

答案：D

知识点：复数几何概率面积

难度评级：2340

解答：

展开得 $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)(x + iy)$ $= \dfrac{3}{4}(x - y)$ $+ \dfrac{3}{4}(x + y)i$ 。实部和虚部都落在 $[-1, 1]$ 中，当且仅当 $|x - y| \le \dfrac{4}{3}$ 且 $|x + y| \le \dfrac{4}{3}$ 。

在正方形 $S$ （面积 $4$ ）内，不满足条件的区域只出现在四个角。靠近 $(1, 1)$ 的地方，直线 $x + y = \dfrac{4}{3}$ 切去一个直角三角形，两条直角边均为 $\dfrac{2}{3}$ 面积为 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}$ 。

四个角共去掉 $4 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9}$ ，剩余面积为 $4 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{28}{9}$ 概率为 $\dfrac{28/9}{4} = \dfrac{7}{9}$ 。

所以正确答案是 D。

Expanding, $\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)(x + iy)$ $= \dfrac{3}{4}(x - y)$ $+ \dfrac{3}{4}(x + y)i.$ Both parts lie in $[-1, 1]$ iff $|x - y| \le \dfrac{4}{3}$ and $|x + y| \le \dfrac{4}{3}.$

Within the square $S$ (area $4$ ) these fail only in four corner triangles. Near $(1, 1),$ the line $x + y = \dfrac{4}{3}$ cuts off a right triangle with legs $\dfrac{2}{3},$ area $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.$

The four corners remove $4 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9},$ leaving $4 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{28}{9}.$ The probability is $\dfrac{28/9}{4} = \dfrac{7}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 12B 第 23 题

答案：D

难度评级：2340

解答：

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