Question

由直线 $y=ax+c$ 、 $y=ax+d$ 、 $y=bx+c$ 、 $y=bx+d$ 围成的平行四边形面积为 $18$ 。由直线 $y=ax+c$ 、 $y=ax-d$ 、 $y=bx+c$ 、 $y=bx-d$ 围成的平行四边形面积为 $72$ 。已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为正整数，求 $a+b+c+d$ 的最小可能值。

The parallelogram bounded by the lines $y=ax+c,$ $y=ax+d,$ $y=bx+c,$ and $y=bx+d$ has area $18.$ The parallelogram bounded by the lines $y=ax+c,$ $y=ax-d,$ $y=bx+c,$ and $y=bx-d$ has area $72.$ Given that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, what is the smallest possible value of $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

答案：D

知识点：坐标几何平行四边形最优化

难度评级：2040

解答：

第一个平行四边形有两个顶点在 $(0,c)$ 和 $(0,d)$ ，另外两个顶点的 $x$ -坐标相差 $\pm\dfrac{c-d}{b-a}$ 。因此第一个平行四边形面积为 $\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18$ ，第二个为 $\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72$ 。

于是 $(c-d)^2=18|b-a|$ ， $(c+d)^2=72|b-a|$ 。两式相减得 $4cd=54|b-a|$ ，即 $2cd=27|b-a|$ 。

为了最小化和，取 $|b-a|$ 尽量小并使 $a+b$ 最小，得到 $\{a,b\}=\{1,3\}$ ；同时 $cd$ 是 $27$ 的倍数并使 $c+d$ 最小，得到 $\{c,d\}=\{3,9\}$ 。于是 $a+b+c+d=1+3+3+9$ $=16$ 。

所以正确答案是 D。

Two vertices of the first parallelogram lie at $(0,c)$ and $(0,d),$ and the other two have $x$ -coordinates $\pm\dfrac{c-d}{b-a}.$ Its area works out to $\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18.$ The same computation for the second gives $\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.$

So $(c-d)^2=18|b-a|$ and $(c+d)^2=72|b-a|.$ Subtracting, $4cd=54|b-a|,$ i.e. $2cd=27|b-a|.$

Thus $|b-a|$ is even, so $a+b$ is smallest with $\{a,b\}=\{1,3\};$ and $cd$ is a multiple of $27,$ so $c+d$ is smallest with $\{c,d\}=\{3,9\}.$ These satisfy all conditions, giving $a+b+c+d=1+3+3+9$ $=16.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B 第 20 题

答案：D

难度评级：2040

解答：

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