2007 AMC 12B 第 20 题

Question

由直线

y=ax+c

、

y=ax+d

、

y=bx+c

、

y=bx+d

围成的平行四边形面积为

18

。由直线

y=ax+c

、

y=ax-d

、

y=bx+c

、

y=bx-d

围成的平行四边形面积为

72

。已知

a

、

b

、

c

、

d

为正整数，求

a+b+c+d

的最小可能值。

The parallelogram bounded by the lines

y=ax+c,

y=ax+d,

y=bx+c,

and

y=bx+d

has area

18.

The parallelogram bounded by the lines

y=ax+c,

y=ax-d,

y=bx+c,

and

y=bx-d

has area

72.

Given that

a,

b,

c,

and

d

are positive integers, what is the smallest possible value of

a+b+c+d?

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答案：D

知识点：坐标几何平行四边形最优化

难度评级：2040

小提示：

第一个平行四边形面积为

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}

；第二个面积为

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}

。

The first parallelogram has area

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|};

the second has area

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}

大提示：

相减得

4cd=54|b-a|

；然后用小的正整数最小化。

Subtracting gives

4cd=54|b-a|;

then minimize with small positive integers

解答：

第一个平行四边形有两个顶点在

(0,c)

和

(0,d)

，另外两个顶点的

x

-坐标为

\pm\dfrac{c-d}{b-a}

。因此第一个平行四边形面积为

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18

，第二个为

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72

。

于是

(c-d)^2=18|b-a|

，

(c+d)^2=72|b-a|

。两式相减得

4cd=54|b-a|

，即

2cd=27|b-a|

。

因此

|b-a|

是偶数，取

\{a,b\}=\{1,3\}

时

a+b

最小；又

cd

是

27

的倍数，取

\{c,d\}=\{3,9\}

时

c+d

最小。这些取值满足全部条件，于是

a+b+c+d=1+3+3+9

=16

。

所以正确答案是 D。

Two vertices of the first parallelogram lie at

(0,c)

and

(0,d),

and the other two have

x

-coordinates

\pm\dfrac{c-d}{b-a}.

Its area works out to

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18.

The same computation for the second gives

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.

So

(c-d)^2=18|b-a|

and

(c+d)^2=72|b-a|.

Subtracting,

4cd=54|b-a|,

i.e.

2cd=27|b-a|.

Thus

|b-a|

is even, so

a+b

is smallest with

\{a,b\}=\{1,3\};

and

cd

is a multiple of

27,

so

c+d

is smallest with

\{c,d\}=\{3,9\}.

These satisfy all conditions, giving

a+b+c+d=1+3+3+9

=16.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B 第 20 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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