2003 AMC 12B 第 18 题

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18.

设

x

和

y

为正整数，且

7x^5 = 11y^{13}

。

x

的最小可能值的素因数分解为

a^c b^d

。

a + b + c + d

是多少？

Let

x

and

y

be positive integers such that

7x^5 = 11y^{13}.

The minimum possible value of

x

has a prime factorization

a^c b^d.

What is

a + b + c + d?

30

31

32

33

34

答案：B

知识点：质因数分解模运算

难度评级：1710

小提示：

最小的

x

只需要用素数

7

和

11

，因此写成

x = 7^c 11^d

The minimum

x

uses only the primes

7

and

11,

so write

x = 7^c 11^d

大提示：

比较

7

和

11

的指数：需要

5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}

且

5d \equiv 1 \pmod{13}

Match exponents of

7

and

11:

need

5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}

and

5d \equiv 1 \pmod{13}

解答：

要使

x

最小，

x

和

y

都不应含有

7

与

11

以外的素因数。写成

x = 7^c 11^d

，则

7x^5 = 7^{5c+1} 11^{5d}

。再写成

y = 7^m 11^n

，需要

7^{5c+1}11^{5d} = 7^{13m}11^{13n+1}

。

比较指数：

5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}

给出最小的

c = 5

，而

5d \equiv 1 \pmod{13}

给出最小的

d = 8

。所以

a = 7

，

b = 11

，

\begin{aligned} &a + b + c + d \\ &= 7 + 11 + 5 + 8 = 31 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 B。

For the minimum

x,

neither

x

nor

y

has prime factors other than

7

and

11.

Write

x = 7^c 11^d,

so

7x^5 = 7^{5c+1} 11^{5d}.

Writing

y = 7^m 11^n,

we need

7^{5c+1}11^{5d} = 7^{13m}11^{13n+1}.

Matching exponents:

5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}

gives the least

c = 5,

and

5d \equiv 1 \pmod{13}

gives the least

d = 8.

So

a = 7,

b = 11,

and

\begin{aligned} &a + b + c + d \\ &= 7 + 11 + 5 + 8 = 31. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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