2003 AMC 12A 第 18 题

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18.

设

n

是一个

5

位数，

q

和

r

分别是

n

除以

100

的商和余数。有多少个

n

使

q + r

能被

11

整除？

Let

n

be a

5

-digit number, and let

q

and

r

be the quotient and remainder, respectively, when

n

is divided by

100.

For how many values of

n

is

q + r

divisible by

11?

8180

8181

8182

9000

9090

答案：B

知识点：模运算倍数

难度评级：1800

小提示：

n=100q+r=(q+r)+99q

。

n=100q+r=(q+r)+99q

大提示：

因为

99

是

11

的倍数，

q+r\equiv n\pmod{11}

。

Since

99

is a multiple of

11,

q+r\equiv n\pmod{11}

解答：

n=100q+r=(q+r)+99q

，且

99

能被

11

整除，所以

q+r\equiv n\pmod{11}

。

因此

(q+r)

是

11

的倍数，当且仅当

n

是

11

的倍数。

在

5

位数中，

11

的倍数个数为

\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor

-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor

=9090-909=8181

。

所以正确答案是 B。

Since

n=100q+r=(q+r)+99q

and

99

is divisible by

11,

we have

q+r\equiv n\pmod{11}.

So

(q+r)

is a multiple of

11

exactly when

n

is a multiple of

11.

Among the

5

-digit numbers, the count of multiples of

11

is

\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor

-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor

=9090-909=8181.

Thus, the correct answer is B.

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