2002 AMC 12B 第 20 题

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20.

设

\triangle XOY

是直角三角形，且

m\angle XOY=90^\circ

。设

M

和

N

分别是直角边

OX

和

OY

的中点。已知

XN=19

且

YM=22

，求

XY

。

Let

\triangle XOY

be a right-angled triangle with

m\angle XOY=90^\circ.

Let

M

and

N

be the midpoints of legs

OX

and

OY,

respectively. Given that

XN=19

and

YM=22,

find

XY.

24

26

28

30

32

答案：B

知识点：直角三角形中线（几何）勾股定理

难度评级：1660

小提示：

设

OM=a

，

ON=b

；则

19^2=(2a)^2+b^2

，且

22^2=a^2+(2b)^2

。

Let

OM=a,

ON=b

; then

19^2=(2a)^2+b^2

and

22^2=a^2+(2b)^2

大提示：

把两个方程相加得到

5(a^2+b^2)

；注意

XY=2\sqrt{a^2+b^2}

。

Add the equations to get

5(a^2+b^2)

; note that

XY=2\sqrt{a^2+b^2}

解答：

设

OM=a

，

ON=b

。因为

M,N

是中点，得到

XN^2=(2a)^2+b^2=361

，且

YM^2=a^2+(2b)^2=484

。

两式相加得

5(a^2+b^2)=845

，所以

a^2+b^2=169

。于是

MN=\sqrt{a^2+b^2}=13

。又因为

MN

是连接

M

、

N

的中位线，

XY=2\,MN=26

。

所以正确答案是 B。

Let

OM=a

and

ON=b.

Since

M,N

are midpoints,

XN^2=(2a)^2+b^2=361

and

YM^2=a^2+(2b)^2=484.

Adding,

5(a^2+b^2)=845,

so

a^2+b^2=169.

Then

MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,

and since

MN

is the midsegment joining

M

and

N,

we have

XY=2\,MN=26.

Thus, the correct answer is B.

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