1993 AMC 12 第 20 题

Question

考虑方程

10z^2-3iz-k=0

，其中

z

是复变量且

i^2=-1

。下列哪个说法正确？

Consider the equation

10z^2-3iz-k=0,

where

z

is a complex variable and

i^2=-1.

Which of the following statements is true?

对所有正实数

k

，两个根都是纯虚数。

For all positive real numbers

k,

both roots are pure imaginary.

对所有负实数

k

，两个根都是纯虚数。

For all negative real numbers

k,

both roots are pure imaginary.

对所有纯虚数

k

，两个根都是实有理数。

For all pure imaginary numbers

k,

both roots are real and rational.

对所有纯虚数

k

，两个根都是实无理数。

For all pure imaginary numbers

k,

both roots are real and irrational.

对所有复数

k

，两个根都不是实数。

For all complex numbers

k,

neither root is real.

答案：B

知识点：quadratic formula complex numbers pure imaginary numbers

难度评级：2040

小提示：

使用求根公式并化简判别式。

Apply the quadratic formula and simplify the discriminant

大提示：

当

k

为负实数时，判断

\sqrt{-9+40k}

的类型。

For negative real

k,

determine the type of

\sqrt{-9+40k}

解答：

两个根为

z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}\text{。}

若

k

是负实数，则

-9+40k

是负实数，所以它的平方根是纯虚数。因此所得两个

z

值都是纯虚数。其余全称命题均不成立，例如可视情况分别取

k=1

、

i

或

0

。故正确答案是 B。

The roots are

z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.

If

k

is negative and real, then

-9+40k

is negative real, so its square roots are pure imaginary. Both resulting values of

z

are therefore pure imaginary. The other universal claims fail, for example by taking

k=1,

i,

or

0

as appropriate. Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 20 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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