2024 AMC 12B Problema 6

Question

La deuda nacional de Estados Unidos va camino de alcanzar

5 \cdot 10^{13}

dólares para

2033.

¿Cuántos dígitos tiene este número de dólares cuando se escribe como un numeral en base

5

? (La aproximación de

\log_{10} 5

como

0.7

es suficiente para este problema.)

The national debt of the United States is on track to reach

5 \cdot 10^{13}

dollars by

2033.

How many digits does this number of dollars have when written as a numeral in base

5?

(The approximation of

\log_{10} 5

as

0.7

is sufficient for this problem.)

18

20

22

24

26

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo base numérica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

El número de dígitos en base

5

de

N

es

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1

.

The number of base-

5

digits of

N

is

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1

Pista grande:

Usa

\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}

con

\log_{10} 5 = 0.7

y

\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5

.

Use

\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}

with

\log_{10} 5 = 0.7

and

\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5

Solución:

El número de dígitos de

N

en base

5

es

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.

Con

N = 5 \cdot 10^{13},

\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.

Cambiando de base,

\log_5 N

= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}

= \dfrac{13.7}{0.7}

= 19.57\ldots

Así el número de dígitos es

\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number of digits of

N

in base

5

is

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.

With

N = 5 \cdot 10^{13},

\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.

Converting bases,

\log_5 N

= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}

= \dfrac{13.7}{0.7}

= 19.57\ldots

Thus the number of digits is

\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.

Thus, the correct answer is B.