2024 AMC 12B Problema 15

Question

Un triángulo en el plano de coordenadas tiene vértices

A(\log_2 1, \log_2 2),

B(\log_2 3, \log_2 4),

y

C(\log_2 7, \log_2 8).

¿Cuál es el área de

\triangle ABC

?

A triangle in the coordinate plane has vertices

A(\log_2 1, \log_2 2),

B(\log_2 3, \log_2 4),

and

C(\log_2 7, \log_2 8).

What is the area of

\triangle ABC?

\log_2 \dfrac{\sqrt3}{7}

\log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}

\log_2 \dfrac{7}{\sqrt3}

\log_2 \dfrac{11}{\sqrt7}

\log_2 \dfrac{11}{\sqrt3}

Los vértices son

(0, 1),

(\log_2 3, 2),

y

(\log_2 7, 3)

.

The vertices are

(0, 1),

(\log_2 3, 2),

and

(\log_2 7, 3)

Aplica la fórmula del cordón y simplifica con

2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7},

y luego divide el logaritmo entre dos.

Apply the shoelace formula and simplify with

2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7},

then halve the logarithm

Los vértices son

A = (0, 1),

B = (\log_2 3, 2),

C = (\log_2 7, 3).

Por la fórmula del cordón,

\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr|. \end{gathered}

Esto es igual a

\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The vertices are

A = (0, 1),

B = (\log_2 3, 2),

C = (\log_2 7, 3).

By the shoelace formula,

\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr|. \end{gathered}

This equals

\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 15 en otros años