2024 AMC 12B Problema 11

Question

Sea

x_n = \sin^2(n^\circ).

¿Cuál es la media de

x_1,

x_2,

x_3,

\ldots,

x_{90}

?

Let

x_n = \sin^2(n^\circ).

What is the mean of

x_1,

x_2,

x_3,

\ldots,

x_{90}?

\dfrac{11}{45}

\dfrac{22}{45}

\dfrac{89}{180}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{91}{180}

Usa

\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}

para reescribir la suma.

Use

\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}

to rewrite the sum

Los términos coseno

\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ

se cancelan por pares mediante

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta,

dejando solo

\cos 180^\circ = -1

.

The cosine terms

\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ

cancel in pairs via

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta,

leaving only

\cos 180^\circ = -1

Usando

\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},

\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}

En la suma de cosenos, los términos para

n

y

90 - n

cumplen

\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,

y

\cos 90^\circ = 0,

así que todo se cancela excepto

\cos 180^\circ = -1.

Por lo tanto la suma es

45 - \tfrac12(-1) = 45.5,

y la media es

\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using

\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},

\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}

In the cosine sum, the terms for

n

and

90 - n

satisfy

\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,

and

\cos 90^\circ = 0,

so everything cancels except

\cos 180^\circ = -1.

Hence the sum is

45 - \tfrac12(-1) = 45.5,

and the mean is

\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.

Thus, the correct answer is E.

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