2024 AMC 12A Problema 14

Question

Los números, en orden, de cada fila y los números, en orden, de cada columna de un arreglo

5\times5

de enteros forman una progresión aritmética de longitud

5.

Los números en las posiciones

(5,5),

(2,4),

(4,3),

y

(3,1)

son

0,

48,

16,

y

12,

respectivamente. ¿Qué número está en la posición

(1,2)

?

\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a

5\times5

array of integers form an arithmetic progression of length

5.

The numbers in positions

(5,5),

(2,4),

(4,3),

and

(3,1)

are

0,

48,

16,

and

12,

respectively. What number is in position

(1,2)?

\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}

19

24

29

34

39

Si cada fila y cada columna es aritmética, la entrada tiene la forma

\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij

If every row and every column is arithmetic, the entry has the form

\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij

Sustituye las cuatro entradas conocidas en esa forma y despeja

\alpha,\beta,\gamma,\delta

Substitute the four known entries into that form and solve for

\alpha,\beta,\gamma,\delta

Una cuadrícula cuyas filas y columnas son todas aritméticas tiene entradas de la forma bilineal

a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.

Los cuatro datos dan

\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,

\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,

\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,

\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.

Al resolver se obtiene

\delta=-5,\ \beta=5,\

\gamma=22,\ \alpha=-10.

Entonces

a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta

=-10+5+44-10

=29.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A grid whose rows and columns are all arithmetic has entries of the bilinear form

a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.

The four givens yield

\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,

\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,

\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,

\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.

Solving gives

\delta=-5,\ \beta=5,\

\gamma=22,\ \alpha=-10.

Then

a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta

=-10+5+44-10

=29.

Thus, the correct answer is C.

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