2023 AMC 12B Problema 6

Question

Cuando las raíces del polinomio

\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}

se eliminan de la recta numérica, lo que queda es la unión de

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intervalos abiertos disjuntos. ¿En cuántos de estos intervalos es

P(x)

positivo?

When the roots of the polynomial

\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}

are removed from the number line, what remains is the union of

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disjoint open intervals. On how many of these intervals is

P(x)

positive?

3

7

6

4

5

Respuesta: C

Conceptos:polinomio paridad

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El signo de

P(x)

cambia en una raíz solo cuando el exponente de esa raíz es impar

The sign of

P(x)

flips at a root only when that root’s exponent is odd

Pista grande:

Para

x\gt 10

el valor es positivo; muévete hacia la izquierda, cambiando de signo solo en las raíces impares

1,3,5,7,9

For

x\gt 10

the value is positive; move left, flipping sign only at the odd roots

1,3,5,7,9

Solución:

El exponente del factor

(x-k)

es

k,

así que el signo de

P

cambia en

x=k

solo cuando

k

es impar, es decir, en

1,3,5,7,9.

Para

x\gt 10

todos los factores son positivos, así que

P\gt 0.

Barriendo hacia la izquierda y cambiando de signo en cada raíz impar, los intervalos positivos son

(10,\infty),

(9,10),

(6,7),

(5,6),

(2,3),

y

(1,2)

: seis intervalos en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The exponent of the factor

(x-k)

is

k,

so the sign of

P

changes at

x=k

only when

k

is odd, i.e. at

1,3,5,7,9.

For

x\gt 10

every factor is positive, so

P\gt 0.

Sweeping left and flipping at each odd root, the positive intervals are

(10,\infty),

(9,10),

(6,7),

(5,6),

(2,3),

and

(1,2)

— six intervals in all.

Thus, the correct answer is C.