2023 AMC 12B Problema 10

Question

En el plano

xy

, un círculo de radio

4

con centro en el semieje positivo

x

es tangente al eje

y

en el origen, y un círculo de radio

10

con centro en el semieje positivo

y

es tangente al eje

x

en el origen. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos en los que estos círculos se intersecan?

In the

xy

-plane, a circle of radius

4

with center on the positive

x

-axis is tangent to the

y

-axis at the origin, and a circle with radius

10

with center on the positive

y

-axis is tangent to the

x

-axis at the origin. What is the slope of the line passing through the two points at which these circles intersect?

\dfrac{2}{7}

\dfrac{3}{7}

\dfrac{2}{\sqrt{29}}

\dfrac{1}{\sqrt{29}}

\dfrac{2}{5}

Respuesta: E

Conceptos:círculo eje radical pendiente

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Escribe las ecuaciones de ambos círculos, luego réstalas para obtener la recta que pasa por ambos puntos de intersección

Write both circle equations, then subtract to get the line through both intersection points

Pista grande:

Los círculos se simplifican a

x^2+y^2=8x

y

x^2+y^2=20y;

iguala los lados derechos

The circles simplify to

x^2+y^2=8x

and

x^2+y^2=20y;

set the right sides equal

Solución:

Los círculos son

(x-4)^2+y^2=16

y

x^2+(y-10)^2=100,

es decir,

x^2+y^2=8x

y

x^2+y^2=20y.

Al restar se obtiene

8x=20y,

así que los puntos de intersección están sobre

y=\tfrac{2}{5}x,

que tiene pendiente

\tfrac{2}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circles are

(x-4)^2+y^2=16

and

x^2+(y-10)^2=100,

i.e.

x^2+y^2=8x

and

x^2+y^2=20y.

Subtracting gives

8x=20y,

so the intersection points lie on

y=\tfrac{2}{5}x,

which has slope

\tfrac{2}{5}.

Thus, the correct answer is E.