2023 AMC 12A Problema 5

Question

Janet lanza un dado estándar de

6

caras

4

veces y va llevando la suma acumulada de los números que obtiene. ¿Cuál es la probabilidad de que en algún momento su suma acumulada sea igual a

3

?

Janet rolls a standard

6

-sided die

4

times and keeps a running total of the numbers she rolls. What is the probability that at some point, her running total will equal

3?

\dfrac{2}{9}

\dfrac{49}{216}

\dfrac{25}{108}

\dfrac{17}{72}

\dfrac{13}{54}

Una vez que la suma acumulada supera

3

ya no puede volver, así que solo importan los primeros lanzamientos

Once the running total passes

3

it can never return, so only the first few rolls matter

Suma las probabilidades de los inicios disjuntos

3;

1,2;

2,1;

y

1,1,1

Add the probabilities of the disjoint openings

3;

1,2;

2,1;

and

1,1,1

La suma acumulada es creciente, así que llega a

3

exactamente cuando ocurre uno de estos inicios disjuntos: un primer lanzamiento de

3;

los lanzamientos

1,2;

los lanzamientos

2,1;

o los lanzamientos

1,1,1.

Sus probabilidades son

\begin{gathered} \dfrac16+\dfrac1{36}+\dfrac1{36}+\dfrac1{216}\\ {}=\dfrac{36+6+6+1}{216}\\ {}=\dfrac{49}{216}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The running total is increasing, so it hits

3

exactly when one of these disjoint openings occurs: a first roll of

3;

rolls

1,2;

rolls

2,1;

or rolls

1,1,1.

Their probabilities are

\begin{gathered} \dfrac16+\dfrac1{36}+\dfrac1{36}+\dfrac1{216}\\ {}=\dfrac{36+6+6+1}{216}\\ {}=\dfrac{49}{216}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

El Problema 5 en otros años