2022 AMC 12B Problema 6

Question

Considera los siguientes

100

conjuntos de

10

elementos cada uno:

\{1,2,3,\ldots,10\},

\{11,12,13,\ldots,20\},

\{21,22,23,\ldots,30\},

\vdots

\{991,992,993,\ldots,1000\}.

¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de

7

?

Consider the following

100

sets of

10

elements each:

\{1,2,3,\ldots,10\},

\{11,12,13,\ldots,20\},

\{21,22,23,\ldots,30\},

\vdots

\{991,992,993,\ldots,1000\}.

How many of these sets contain exactly two multiples of

7?

40

42

43

49

50

Respuesta: B

Conceptos:múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Un bloque de

10

enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de

7

.

A block of

10

consecutive integers contains either one or two multiples of

7

Pista grande:

Cuenta el total de múltiplos de

7

en

\{1,\ldots,1000\},

y luego supón que

x

bloques tienen dos y

100-x

tienen uno.

Count the total multiples of

7

in

\{1,\ldots,1000\},

then let

x

blocks have two and

100-x

have one

Solución:

Entre

1

y

1000

hay

\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142

múltiplos de

7.

Como

10 \gt 7,

cada bloque de

10

enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de

7.

Si

x

bloques contienen dos y los restantes

100 - x

contienen uno, entonces

2x + (100 - x) = 142,

así que

x = 42.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Among

1

to

1000

there are

\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142

multiples of

7.

Because

10 \gt 7,

each block of

10

consecutive integers contains one or two multiples of

7.

If

x

blocks contain two and the remaining

100 - x

contain one, then

2x + (100 - x) = 142,

so

x = 42.

Thus, the correct answer is B.