2022 AMC 12B Problema 15

Question

Uno de los siguientes números no es divisible por ningún número primo menor que

10.

¿Cuál es?

One of the following numbers is not divisible by any prime number less than

10.

Which is it?

2^{606} - 1

2^{606} + 1

2^{607} - 1

2^{607} + 1

2^{607} + 3^{607}

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular orden multiplicativo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Los cinco números son impares, así que prueba la divisibilidad solo por

3, 5,

y

7

.

All five numbers are odd, so test divisibility only by

3, 5,

and

7

Pista grande:

Usa los ciclos de

2^n

módulo

3, 5, 7:

por ejemplo

2^n \equiv 1 \pmod 3

cuando

n

es par.

Use the cycles of

2^n

modulo

3, 5, 7:

for example

2^n \equiv 1 \pmod 3

when

n

is even

Solución:

Toda opción es impar, así que solo hay que verificar los primos

3, 5, 7

.

Opción A:

2^{606} \equiv 1 \pmod 3,

así que

2^{606} - 1

es divisible por

3.

Opción B:

2^{606} \equiv 4 \pmod 5,

así que

2^{606} + 1

es divisible por

5.

Opción D:

2^{607} \equiv 2 \pmod 3,

así que

2^{607} + 1

es divisible por

3.

Opción E: módulo

5,

2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.

Para

2^{607} - 1:

es

\equiv 1 \pmod 3,

\equiv 2 \pmod 5,

y (ya que

2^3 \equiv 1 \pmod 7

y

607 \equiv 1 \pmod 3

)

\equiv 1 \pmod 7.

Así que no es divisible por ningún primo menor que

10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Every option is odd, so only the primes

3, 5, 7

need checking.

Option A:

2^{606} \equiv 1 \pmod 3,

so

2^{606} - 1

is divisible by

3.

Option B:

2^{606} \equiv 4 \pmod 5,

so

2^{606} + 1

is divisible by

5.

Option D:

2^{607} \equiv 2 \pmod 3,

so

2^{607} + 1

is divisible by

3.

Option E: modulo

5,

2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.

For

2^{607} - 1:

it is

\equiv 1 \pmod 3,

\equiv 2 \pmod 5,

and (since

2^3 \equiv 1 \pmod 7

and

607 \equiv 1 \pmod 3

)

\equiv 1 \pmod 7.

So it is not divisible by any prime below

10.

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años