2022 AMC 12B Problema 14

Question

La gráfica de

y = x^2 + 2x - 15

corta al eje

x

en los puntos

A

y

C

y al eje

y

en el punto

B.

¿Cuánto vale

\tan(\angle ABC)

?

The graph of

y = x^2 + 2x - 15

intersects the

x

-axis at points

A

and

C

and the

y

-axis at point

B.

What is

\tan(\angle ABC)?

\dfrac17

\dfrac14

\dfrac37

\dfrac12

\dfrac47

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica vector trigonometría

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Factoriza para hallar las intersecciones:

A

y

C

en el eje

x

,

B

en el eje

y

.

Factor to find the intercepts:

A

and

C

on the

x

-axis,

B

on the

y

-axis

Pista grande:

Con los vectores

\vec{BA}

y

\vec{BC},

usa

\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}

.

With vectors

\vec{BA}

and

\vec{BC},

use

\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}

Solución:

Factorizando,

x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),

así que

A = (-5, 0)

y

C = (3, 0),

y la intersección con el eje

y

es

B = (0, -15).

Entonces

\vec{BA} = (-5, 15)

y

\vec{BC} = (3, 15).

Usando los productos vectorial y escalar,

\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring,

x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),

so

A = (-5, 0)

and

C = (3, 0),

and the

y

-intercept is

B = (0, -15).

Then

\vec{BA} = (-5, 15)

and

\vec{BC} = (3, 15).

Using the cross and dot products,

\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.