Question

Un número triangular es un entero positivo que se puede expresar en la forma $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ para algún entero positivo $n.$ Los tres números triangulares más pequeños que también son cuadrados perfectos son $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ y $t_{49}=1225=35^2.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del cuarto número triangular más pequeño que también es un cuadrado perfecto?

A triangular number is a positive integer that can be expressed in the form $t_n=1+2+3+\cdots+n,$ for some positive integer $n.$ The three smallest triangular numbers that are also perfect squares are $t_1=1=1^2,$ $t_8=36=6^2,$ and $t_{49}=1225=35^2.$ What is the sum of the digits of the fourth smallest triangular number that is also a perfect square?

$6$

$9$

$12$

$18$

$27$

Respuesta: D

Conceptos:número triangular cuadrado perfecto recursión

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Si $t_n=y^2,$ entonces $n(n+1)/2=y^2,$ o bien $(2n+1)^2-8y^2=1.$ Las soluciones positivas de Pell se obtienen sucesivamente multiplicando $(2n+1)+y\sqrt8$ por $3+\sqrt8.$

Comenzando con $(2n+1,y)=(3,1),$ obtenemos $(17,6),$ $(99,35),$ y luego $(577,204).$ Así, el cuarto valor tiene $n=288$ y es $204^2=41616.$

La suma de sus dígitos es $4+1+6+1+6=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $t_n=y^2,$ then $n(n+1)/2=y^2,$ or $(2n+1)^2-8y^2=1.$ The positive Pell solutions occur successively by multiplying $(2n+1)+y\sqrt8$ by $3+\sqrt8.$

Starting from $(2n+1,y)=(3,1),$ this gives $(17,6),$ $(99,35),$ and then $(577,204).$ Thus the fourth value has $n=288$ and equals $204^2=41616.$

The sum of its digits is $4+1+6+1+6=18.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12A Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

El Problema 16 en otros años