2022 AMC 12A Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2022 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

¿Cuál es el valor de

\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}

donde

\log

denota el logaritmo en base diez?

What is the value of

\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}

where

\log

denotes the base-ten logarithm?

\dfrac32

\dfrac74

2

\dfrac94

3

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea

u=\log 2;

entonces

\log 5=1-u

y

\log 20=1+u

Let

u=\log 2;

then

\log 5=1-u

and

\log 20=1+u

Pista grande:

Además

\log 8=3u

y

\log 0.25=-2u;

usa

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Also

\log 8=3u

and

\log 0.25=-2u;

use

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Solución:

Sea

u=\log 2.

Entonces

\log 5=1-u,

\log 20=1+u,

\log 8=3u,

y

\log 0.25=-2u.

Con

a=1-u,\ b=1+u,

tenemos

a+b=2

y

ab=1-u^2,

así que

\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}

El último término es

(3u)(-2u)=-6u^2,

así que el total es

2+6u^2-6u^2=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

u=\log 2.

Then

\log 5=1-u,

\log 20=1+u,

\log 8=3u,

and

\log 0.25=-2u.

With

a=1-u,\ b=1+u,

we have

a+b=2

and

ab=1-u^2,

so

\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}

The last term is

(3u)(-2u)=-6u^2,

so the total is

2+6u^2-6u^2=2.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 14 en otros años