2022 AMC 12A Problema 11

Question

¿Cuál es el producto de todos los números reales

x

tales que la distancia en la recta numérica entre

\log_6 x

y

\log_6 9

es el doble de la distancia en la recta numérica entre

\log_6 10

y

1

?

What is the product of all real numbers

x

such that the distance on the number line between

\log_6 x

and

\log_6 9

is twice the distance on the number line between

\log_6 10

and

1?

10

18

25

36

81

\log_6 10-1=\log_6\dfrac{10}{6}=\log_6\dfrac53

La condición es

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}

The condition is

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}

La distancia del lado derecho es

|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,

así que su doble es

2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.

Por lo tanto

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},

lo que da

\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}

o

\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},

así que

x=25

o

x=\dfrac{81}{25}.

Su producto es

25\cdot\dfrac{81}{25}=81.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The right-hand distance is

|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,

so twice it is

2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.

Thus

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},

giving

\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}

or

\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},

so

x=25

or

x=\dfrac{81}{25}.

Their product is

25\cdot\dfrac{81}{25}=81.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 11 en otros años