2021 AMC 12B Fall Problema 16

Question

Supongamos que

a,

b,

c

son enteros positivos tales que

a + b + c = 23

y

\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}

¿Cuál es la suma de todos los valores distintos posibles de

a^2 + b^2 + c^2

?

Suppose

a,

b,

c

are positive integers such that

a + b + c = 23

and

\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}

What is the sum of all possible distinct values of

a^2 + b^2 + c^2?

259

438

516

625

687

Respuesta: B

Conceptos:máximo común divisor paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Por simetría, supón

a\le b\le c;

entonces

a\le7

y

c=23-a-b

By symmetry assume

a\le b\le c;

then

a\le7

and

c=23-a-b

Pista grande:

Usa

\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)

y revisa el corto rango

a\le b\le\frac{23-a}{2}

Use

\gcd(b,c)=\gcd(b,23-a)

and check the short range

a\le b\le\frac{23-a}{2}

Solución:

La condición es simétrica, así que supón

a\le b\le c.

Entonces

a\le7,

y para cada

a

fijo se tiene

a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor

y

c=23-a-b.

La suma de los máximos comunes divisores se puede evaluar como

\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}

Al revisar estos cortos rangos, las sumas de gcd posibles para

a=1,2,\ldots,7

son, respectivamente,

\{3,4,13\},

\{4,6,10\},

\{3,5,6,8,9,12\},

\{4,6\},

\{3,7,8,11\},

\{4,6,8\},

y

\{9,10\}.

El valor

9

aparece solo en

(a,b,c)=(3,5,15)

y

(7,7,9).

La terna

(7, 7, 9)

tiene suma de

\gcd

igual a

7 + 1 + 1 = 9

y

a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81

= 179.

La terna

(3, 5, 15)

tiene suma de

\gcd

igual a

1 + 5 + 3 = 9

y

a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25

+ 225 = 259.

La suma de los valores distintos es

179 + 259 = 438.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition is symmetric, so assume

a\le b\le c.

Then

a\le7,

and for each fixed

a

we have

a\le b\le\lfloor\frac{23-a}{2}\rfloor

and

c=23-a-b.

The gcd sum can be evaluated as

\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}

Checking these short ranges, the possible gcd sums for

a=1,2,\ldots,7

are, respectively,

\{3,4,13\},

\{4,6,10\},

\{3,5,6,8,9,12\},

\{4,6\},

\{3,7,8,11\},

\{4,6,8\},

and

\{9,10\}.

The value

9

occurs only at

(a,b,c)=(3,5,15)

and

(7,7,9).

The triple

(7, 7, 9)

has

\gcd

sum

7 + 1 + 1 = 9

and

a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81

= 179.