2021 AMC 12B Fall Problema 10

Question

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

t

entre

0

y

360

tales que el triángulo en el plano de coordenadas cuyos vértices son

(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\

(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),

y

\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)

es isósceles?

What is the sum of all possible values of

t

between

0

and

360

such that the triangle in the coordinate plane whose vertices are

(\cos 40^\circ, \sin 40^\circ),\

(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ),

and

\ \ (\cos t^\circ, \sin t^\circ)

is isosceles?

100

150

330

360

380

Respuesta: E

Conceptos:círculo cuerda triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario, así que lados iguales significan cuerdas iguales, es decir, separaciones de arco iguales.

All three points lie on the unit circle, so equal sides mean equal chords, i.e. equal arc separations

Pista grande:

Considera los tres casos en que el tercer punto iguala la distancia a

A,

a

B,

o está sobre su mediatriz.

Consider the three cases where the third point matches distance to

A,

to

B,

or lies on their perpendicular bisector

Solución:

Los tres puntos están sobre el círculo unitario en los ángulos

40^\circ,

60^\circ,

y

t^\circ.

La longitud de una cuerda depende solo de la separación angular de sus extremos.

Si el tercer punto es equidistante de los otros dos, está sobre la mediatriz:

t = 50

o

t = 230.

Si su distancia a

40^\circ

es igual a la cuerda fija (separación

20^\circ

), entonces

t = 20

(ya que

t = 60

es degenerado). Si su distancia a

60^\circ

coincide, entonces

t = 80

(ya que

t = 40

es degenerado).

Los valores válidos son

50, 230, 20, 80,

que suman

380.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The three points lie on the unit circle at angles

40^\circ,

60^\circ,

and

t^\circ.

A chord’s length depends only on the angular separation of its endpoints.

If the third point is equidistant from the other two, it lies on the perpendicular bisector:

t = 50

or

t = 230.

If its distance to

40^\circ

equals the fixed chord (separation

20^\circ

), then

t = 20

(since

t = 60

is degenerate). If its distance to

60^\circ

matches, then

t = 80

(since

t = 40

is degenerate).

The valid values are

50, 230, 20, 80,

summing to

380.

Thus, the correct answer is E.