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2021 AMC 12A Fall Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2021 AMC 12A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

Como se muestra en la figura de abajo, el punto EE está en el semiplano opuesto determinado por la recta CDCD respecto al punto AA, de modo que ∠CDE=110∘.\angle CDE = 110^\circ. El punto FF está en AD‾\overline{AD} de modo que DE=DF,DE = DF, y ABCDABCD es un cuadrado. ¿Cuál es la medida en grados de ∠AFE\angle AFE?
As shown in the figure below, point EE lies on the opposite half-plane determined by line CDCD from point AA so that ∠CDE=110∘.\angle CDE = 110^\circ. Point FF lies on AD‾\overline{AD} so that DE=DF,DE = DF, and ABCDABCD is a square. What is the degree measure of ∠AFE?\angle AFE?
160160
164164
166166
170170
174174
Respuesta: D
Conceptos:persecución de ángulostriángulo isóscelescuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:
Alrededor del punto D,D, el ángulo del triángulo es 360∘360^\circ menos ∠ADC+∠CDE\angle ADC+\angle CDE
Around point D,D, the triangle’s angle is 360∘360^\circ minus ∠ADC+∠CDE\angle ADC+\angle CDE
Pista grande:
El triángulo DFEDFE es isósceles con DF=DE,DF = DE, así que sus dos ángulos base son iguales
Triangle DFEDFE is isosceles with DF=DE,DF = DE, so its two base angles are equal
Solución:
Como ABCDABCD es un cuadrado, ∠ADC=90∘.\angle ADC = 90^\circ. Dado que EE y AA están en lados opuestos de la recta CD,CD, el rayo DEDE queda girado más allá de DC,DC, así que el ángulo del triángulo DFEDFE en DD (con FF en AD‾\overline{AD}) es ∠FDE=360∘\angle FDE = 360^\circ −(∠ADC+∠CDE)- (\angle ADC + \angle CDE) =360∘−(90∘+110∘)= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ) =160∘.= 160^\circ.
Como DF=DE,DF = DE, el triángulo DFEDFE es isósceles con ángulos base ∠DFE=180∘−160∘2=10∘.\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.
Como A,A, F,F, DD son colineales, ∠AFE=180∘−∠DFE=170∘.\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Because ABCDABCD is a square, ∠ADC=90∘.\angle ADC = 90^\circ. Since EE and AA lie on opposite sides of line CD,CD, ray DEDE is swung past DC,DC, so the angle of triangle DFEDFE at DD (with FF on AD‾\overline{AD}) is ∠FDE=360∘\angle FDE = 360^\circ −(∠ADC+∠CDE)- (\angle ADC + \angle CDE) =360∘−(90∘+110∘)= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ) =160∘.= 160^\circ.
Since DF=DE,DF = DE, triangle DFEDFE is isosceles with base angles ∠DFE=180∘−160∘2=10∘.\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.
As A,A, F,F, DD are collinear, ∠AFE=180∘−∠DFE=170∘.\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.
Thus, the correct answer is D.

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