2021 AMC 12A Spring Problema 5

Question

Cuando un estudiante multiplicó el número

66

por el decimal periódico

1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,

donde

a

y

b

son dígitos, no notó la notación y simplemente multiplicó

66

por el decimal finito

1.ab

. Más tarde descubrió que su respuesta era

0.5

menor que la respuesta correcta.

¿Cuál es el entero de dos dígitos

\overline{ab}

?

When a student multiplied the number

66

by the repeating decimal

1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,

where

a

and

b

are digits, he did not notice the notation and just multiplied

66

by the terminating decimal

1.ab.

Later he found that his answer was

0.5

less than the correct answer.

What is the two-digit integer

\overline{ab}?

15

30

45

60

75

Respuesta: E

Conceptos:decimal periódico ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Escribe

n = \overline{ab}.

Entonces

1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}

y

1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}

.

Write

n = \overline{ab}.

Then

1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}

and

1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}

Pista grande:

La diferencia de los dos productos es

66\left(\dfrac{n}{99} - \dfrac{n}{100}\right) = 0.5

.

The difference of the two products is

66\left(\dfrac{n}{99} - \dfrac{n}{100}\right) = 0.5

Solución:

Sea

n = \overline{ab}

el entero de dos dígitos. Entonces

1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}

, mientras que el valor finito es

1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}.

El producto correcto menos el producto del estudiante es

\begin{aligned} &66\left(\frac{n}{99} - \frac{n}{100}\right) \\ &= 66 \cdot \frac{n}{9900} = \frac{n}{150}. \end{aligned}

Al hacer

\dfrac{n}{150} = 0.5

se obtiene

n = 75.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

n = \overline{ab}

be the two-digit integer. Then

1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}

while the terminating value is

1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}.

The correct product minus the student’s product is

\begin{aligned} &66\left(\frac{n}{99} - \frac{n}{100}\right) \\ &= 66 \cdot \frac{n}{9900} = \frac{n}{150}. \end{aligned}

Setting

\dfrac{n}{150} = 0.5

gives

n = 75.

Thus, the correct answer is E.