2020 AMC 12B Problema 6

Question

Para todos los enteros

n \ge 9,

el valor de

\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

¿es siempre cuál de las siguientes opciones?

For all integers

n \ge 9,

the value of

\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

is always which of the following?

un múltiplo de

4

a multiple of

4

un múltiplo de

10

a multiple of

10

un número primo

a prime number

un cuadrado perfecto

a perfect square

un cubo perfecto

a perfect cube

Factoriza

(n + 1)!

del numerador.

Factor

(n + 1)!

out of the numerator

(n + 2)! - (n + 1)!

= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]

= (n + 1)!\,(n + 1)

.

(n + 2)! - (n + 1)!

= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big]

= (n + 1)!\,(n + 1)

Factoriza

(n + 1)!

del numerador:

\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}

Al dividir entre

n!

queda

\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}

= (n + 1)(n + 1)

= (n + 1)^2,

que siempre es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factor

(n + 1)!

from the numerator:

\begin{gathered} (n + 2)! - (n + 1)! \\ {}= (n + 1)!\,\big[(n + 2) - 1\big] \\ {}= (n + 1)!\,(n + 1). \end{gathered}

Dividing by

n!

leaves

\dfrac{(n + 1)!\,(n + 1)}{n!}

= (n + 1)(n + 1)

= (n + 1)^2,

which is always a perfect square.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 6 en otros años