2020 AMC 12A Problema 15

Question

En el plano complejo, sea

A

el conjunto de soluciones de

z^3 - 8 = 0

y sea

B

el conjunto de soluciones de

z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.

¿Cuál es la mayor distancia entre un punto de

A

y un punto de

B

?

In the complex plane, let

A

be the set of solutions to

z^3 - 8 = 0

and let

B

be the set of solutions to

z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.

What is the greatest distance between a point of

A

and a point of

B?

2\sqrt{3}

6

9

2\sqrt{21}

9 + \sqrt{3}

Respuesta: D

Conceptos:número complejo factorización fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

A

son las tres raíces cúbicas de

8;

factoriza la segunda cúbica agrupando

A

is the three cube roots of

8;

factor the second cubic by grouping

Pista grande:

La mayor distancia empareja una raíz cúbica no real de

8

con la raíz real más lejana de la segunda ecuación

The largest distance pairs a nonreal cube root of

8

with the farthest real root of the second equation

Solución:

El conjunto

A

consta de las raíces cúbicas de

8:

2,

-1 + i\sqrt3,

y

-1 - i\sqrt3.

Factorizando por agrupación,

z^3 - 8z^2 - 8z + 64

= z^2(z - 8) - 8(z - 8)

= (z - 8)(z^2 - 8),

así que

B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\},

todas reales.

La mayor distancia va de

-1 \pm i\sqrt3

a

8:

\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}

= \sqrt{81 + 3}

= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The set

A

consists of the cube roots of

8:

2,

-1 + i\sqrt3,

and

-1 - i\sqrt3.

Factoring by grouping,

z^3 - 8z^2 - 8z + 64

= z^2(z - 8) - 8(z - 8)

= (z - 8)(z^2 - 8),

so

B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\},

all real.

The greatest distance is from

-1 \pm i\sqrt3

to

8:

\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}

= \sqrt{81 + 3}

= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.

Thus, D is the correct answer.