2019 AMC 12B Problema 21

Question

¿Cuántos polinomios cuadráticos con coeficientes reales existen tales que el conjunto de raíces sea igual al conjunto de coeficientes? (Para aclarar: si el polinomio es

ax^2+bx+c,

a\neq0,

y las raíces son

r

y

s,

entonces el requisito es que

\{a,b,c\}=\{r,s\}.

)

How many quadratic polynomials with real coefficients are there such that the set of roots equals the set of coefficients? (For clarification: If the polynomial is

ax^2+bx+c,

a\neq0,

and the roots are

r

and

s,

then the requirement is that

\{a,b,c\}=\{r,s\}.

)

3

4

5

6

infinitos

infinitely many

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta análisis por casos sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Como

\{a,b,c\}

tiene a lo sumo dos valores, al menos dos coeficientes son iguales

Since

\{a,b,c\}

has at most two values, at least two coefficients are equal

Pista grande:

Por Vieta,

r+s=-\dfrac{b}{a}

y

rs=\dfrac{c}{a};

analiza cada caso de coeficientes iguales

By Vieta,

r+s=-\dfrac{b}{a}

and

rs=\dfrac{c}{a};

work through each equal-coefficient case

Solución:

Si los tres coeficientes tuvieran un mismo valor

u,

el polinomio sería

u(x^2+x+1),

cuyas raíces no son iguales a

u.

Por tanto, los conjuntos de coeficientes y raíces tienen ambos dos valores distintos, así que exactamente dos coeficientes coinciden. Por las fórmulas de Vieta,

r+s=-\dfrac{b}{a}

y

rs=\dfrac{c}{a}.

Primero supongamos que

a=b=u

y

c=v.

Las raíces son

u,v,

así que Vieta da

u+v=-1

y

uv=\frac{v}{u}.

Entonces

v(u^2-1)=0,

lo que produce

x^2+x-2

y

-x^2-x.

Si

b=c=v

y

a=u,

la misma ecuación del producto da

v(u^2-1)=0,

mientras que la ecuación de la suma deja solo

u=1,\ v=-\tfrac12.

Esto da

x^2-\tfrac12x-\tfrac12.

Finalmente, si

a=c=u

y

b=v,

la ecuación del producto da

uv=1,

así que

v=\frac{1}{u}.

La ecuación de la suma se convierte en

u^3+u+1=0.

Esta cúbica estrictamente creciente tiene una raíz real

u,

y produce exactamente otro polinomio,

ux^2+\dfrac1u x+u.

Por tanto, hay

4

polinomios.

Así, B es la respuesta correcta.

If all three coefficients had one value

u,

the polynomial would be

u(x^2+x+1),

whose roots do not equal

u.

Thus the coefficient and root sets both have two distinct values, so exactly two coefficients coincide. By Vieta’s formulas,

r+s=-\dfrac{b}{a}

and

rs=\dfrac{c}{a}.

First suppose

a=b=u

and

c=v.

The roots are

u,v,

so Vieta gives

u+v=-1

and

uv=\frac{v}{u}.

Hence

v(u^2-1)=0,

producing

x^2+x-2

and

-x^2-x.

If

b=c=v

and

a=u,

the same product equation gives

v(u^2-1)=0,

while the sum equation leaves only

u=1,\ v=-\tfrac12.

This gives

x^2-\tfrac12x-\tfrac12.

Finally, if

a=c=u

and

b=v,

the product equation gives

uv=1,

so

v=\frac{1}{u}.

The sum equation becomes

u^3+u+1=0.

This strictly increasing cubic has one real root

u,

producing exactly one more polynomial,

ux^2+\dfrac1u x+u.

Therefore there are

4

polynomials.

Thus, B is the correct answer.