2019 AMC 12B Problema 14

Question

Sea

S

el conjunto de todos los divisores enteros positivos de

100{,}000.

¿Cuántos números son el producto de dos elementos distintos de

S

?

Let

S

be the set of all positive integer divisors of

100{,}000.

How many numbers are the product of two distinct elements of

S?

98

100

117

119

121

Respuesta: C

Conceptos:factor factorización en primos conteo complementario

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Los divisores son

2^a5^b

con

0\le a,b\le5;

los productos son

2^x5^y

con

0\le x,y\le10

Divisors are

2^a5^b

with

0\le a,b\le5;

products are

2^x5^y

with

0\le x,y\le10

Pista grande:

Todos los

11\times11

productos aparecen; descarta los que solo se obtienen como un divisor por sí mismo

All

11\times11

products arise; discard those obtainable only as a divisor times itself

Solución:

Como

100{,}000=2^5\cdot5^5,

cada divisor es

2^a5^b

con

0\le a,b\le5.

Un producto de dos divisores es

2^x5^y

con

0\le x,y\le10,

y cada par

(x,y)

es alcanzable, dando

11\cdot11=121

valores.

Necesitamos dos divisores distintos. Un valor

2^x5^y

está forzado a ser un divisor por sí mismo solo cuando tanto

x

como

y

tienen una única descomposición, lo cual ocurre exactamente cuando

x,y\in\{0,10\}.

Esos

4

valores de las esquinas (

1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}

) no pueden usar dos divisores distintos.

El conteo es

121-4=117.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since

100{,}000=2^5\cdot5^5,

every divisor is

2^a5^b

with

0\le a,b\le5.

A product of two divisors is

2^x5^y

with

0\le x,y\le10,

and every such pair

(x,y)

is attainable, giving

11\cdot11=121

values.

We need two distinct divisors. A value

2^x5^y

is forced to be a divisor times itself only when both

x

and

y

have a unique split, which happens exactly when

x,y\in\{0,10\}.

Those

4

corner values (

1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}

) cannot use two distinct divisors.

The count is

121-4=117.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años