2019 AMC 12A Problema 15

Question

Los números reales positivos

a

y

b

tienen la propiedad de que

\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}

y los cuatro términos de la izquierda son enteros positivos, donde

\log

denota el logaritmo en base

10

. ¿Cuánto vale

ab

?

Positive real numbers

a

and

b

have the property that

\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}

and all four terms on the left are positive integers, where

\log

denotes the base

10

logarithm. What is

ab?

10^{52}

10^{100}

10^{144}

10^{164}

10^{200}

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea

\sqrt{\log a} = p

y

\sqrt{\log b} = q;

entonces

\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}

debe ser un entero

Let

\sqrt{\log a} = p

and

\sqrt{\log b} = q;

then

\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}

must be an integer

Pista grande:

Con

p = 2m,

q = 2n,

la ecuación se convierte en

m(m+1) + n(n+1) = 50

With

p = 2m,

q = 2n,

the equation becomes

m(m+1) + n(n+1) = 50

Solución:

Sea

\sqrt{\log a} = p

y

\sqrt{\log b} = q,

así que

\log a = p^2

y

\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.

Para que esto sea un entero,

p

es par; igualmente

q.

Escribiendo

p = 2m,

q = 2n,

la ecuación

p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100

se convierte en

m(m+1) + n(n+1) = 50.

La única solución es

\{m, n\} = \{4, 5\},

dando

\log(ab) = p^2 + q^2

= 4(16 + 25) = 164.

Por lo tanto

ab = 10^{164}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

\sqrt{\log a} = p

and

\sqrt{\log b} = q,

so

\log a = p^2

and

\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.

For this to be an integer,

p

is even; likewise

q.

Writing

p = 2m,

q = 2n,

the equation

p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100

becomes

m(m+1) + n(n+1) = 50.

The only solution is

\{m, n\} = \{4, 5\},

giving

\log(ab) = p^2 + q^2

= 4(16 + 25) = 164.

Therefore

ab = 10^{164}.

Thus, the correct answer is D.