2019 AMC 12A Problema 11

Question

Para cierto entero positivo

k,

la representación periódica en base

k

de la fracción (en base diez)

\dfrac{7}{51}

es

0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.

¿Cuánto vale

k

?

For some positive integer

k,

the repeating base-

k

representation of the (base-ten) fraction

\dfrac{7}{51}

is

0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.

What is

k?

13

14

15

16

17

Un bloque periódico de dos dígitos en base

k

es igual a

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}

.

A two-digit repeating block in base

k

equals

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}

Iguala

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}

y elimina los denominadores

Set

\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}

and clear denominators

El bloque periódico da

0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.

Multiplicando en cruz,

51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),

así que

7k^2 - 102k - 160 = 0.

La fórmula cuadrática da

\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The repeating block gives

0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.

Cross-multiplying,

51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),

so

7k^2 - 102k - 160 = 0.

The quadratic formula gives

\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

El Problema 11 en otros años