Question

Joey y Chloe y su hija Zoe tienen todos el mismo cumpleaños. Joey es $1$ año mayor que Chloe, y Zoe tiene exactamente $1$ año hoy. Hoy es el primero de los $9$ cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la edad de Zoe?

Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is $1$ year older than Chloe, and Zoe is exactly $1$ year old today. Today is the first of the $9$ birthdays on which Chloe's age will be an integral multiple of Zoe's age. What will be the sum of the two digits of Joey's age the next time his age is a multiple of Zoe's age?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:conteo de factores divisibilidad

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Sea $n$ la edad actual de Chloe, de modo que ella es $n-1$ años mayor que Zoe. Dentro de $y$ años, la edad $n+y$ de Chloe es múltiplo de la edad $1+y$ de Zoe exactamente cuando $1+y$ divide a $n-1.$ Tener $9$ cumpleaños así significa que $n-1$ tiene exactamente $9$ divisores.

Un número con exactamente $9$ divisores tiene la forma $p^2q^2$ para primos distintos $p,q,$ o la forma $p^8.$ Como la edad de Joey en el cumpleaños futuro pedido tiene dos dígitos, $n-1\lt99;$ la única posibilidad es $2^2\cdot3^2=36.$ Así, Chloe tiene $37$ y Joey $38.$

La edad $38+y$ de Joey es múltiplo de $1+y$ exactamente cuando $1+y$ divide a $37.$ La próxima vez ocurre para $y=36,$ cuando Joey tiene $74,$ cuya suma de dígitos es $7+4=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let Chloe be $n$ today, so she is $n-1$ years older than Zoe. In $y$ years Chloe's age $n+y$ is a multiple of Zoe's age $1+y$ exactly when $1+y$ divides $n-1.$ Having $9$ such birthdays means $n-1$ has exactly $9$ divisors.

A number with exactly $9$ divisors has the form $p^2q^2$ for distinct primes $p,q,$ or $p^8.$ Because Joey's age at the requested future birthday has two digits, $n-1\lt99;$ the only possibility is $2^2\cdot3^2=36.$ So Chloe is $37$ and Joey is $38.$

Joey's age $38+y$ is a multiple of $1+y$ exactly when $1+y$ divides $37.$ The next time is $y=36,$ making Joey $74,$ with digit sum $7+4=11.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12B Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

El Problema 14 en otros años