2018 AMC 12A Problema 6

Question

Para enteros positivos

m

y

n

tales que

m + 10 \lt n + 1,

tanto la media como la mediana del conjunto

\{m, m + 4, m + 10,

n + 1,

n + 2,

2n\}

son iguales a

n.

¿Cuánto vale

m + n

?

For positive integers

m

and

n

such that

m + 10 \lt n + 1,

both the mean and the median of the set

\{m, m + 4, m + 10,

n + 1,

n + 2,

2n\}

are equal to

n.

What is

m + n?

20

21

22

23

24

Respuesta: B

Conceptos:media mediana (datos)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

La condición

m + 10 \lt n + 1

obliga a que los seis valores estén listados en orden creciente

The condition

m + 10 \lt n + 1

forces the six values to be listed in increasing order

Pista grande:

Iguala la mediana

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n

y haz la media igual a

n,

luego resuelve las dos ecuaciones

Set the median

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n

and set the mean equal to

n,

then solve the two equations

Solución:

Como

m + 10 \lt n + 1,

los seis números ya están en orden creciente, así que la mediana es el promedio de los dos del medio:

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,

lo que da

m = n - 11.

La condición de la media es

\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,

así que

7n - 16 = 6n

y

n = 16.

Entonces

m = 5,

y

m + n = 21.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because

m + 10 \lt n + 1,

the six numbers are already increasing, so the median is the average of the middle two:

\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,

giving

m = n - 11.

The mean condition is

\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,

so

7n - 16 = 6n

and

n = 16.

Then

m = 5,

and

m + n = 21.

Thus, the correct answer is B.