2018 AMC 12A Problema 5

Question

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

k

para los que los polinomios

x^2 - 3x + 2

y

x^2 - 5x + k

tienen una raíz en común?

What is the sum of all possible values of

k

for which the polynomials

x^2 - 3x + 2

and

x^2 - 5x + k

have a root in common?

3

4

5

6

10

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Factoriza

x^2 - 3x + 2

para hallar sus dos raíces

Factor

x^2 - 3x + 2

to find its two roots

Pista grande:

Una raíz común debe ser

1

o

2;

sustituye cada una en

x^2 - 5x + k

y despeja

k

A common root must be

1

or

2;

substitute each into

x^2 - 5x + k

and solve for

k

Solución:

Como

x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),

sus raíces son

1

y

2.

Si

1

es una raíz compartida entonces

1 - 5 + k = 0,

así que

k = 4.

Si

2

es una raíz compartida entonces

4 - 10 + k = 0,

así que

k = 6.

La suma de los valores posibles es

4 + 6 = 10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),

its roots are

1

and

2.

If

1

is a shared root then

1 - 5 + k = 0,

so

k = 4.

If

2