2018 AMC 12A Problema 15

Question

Un código de escaneo consiste en una cuadrícula de

7 \times 7

cuadrados, con algunos de sus cuadrados coloreados de negro y el resto de blanco. Debe haber al menos un cuadrado de cada color en esta cuadrícula de

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cuadrados. Un código de escaneo se llama simétrico si su apariencia no cambia cuando todo el cuadrado se rota un múltiplo de

90^\circ

en sentido antihorario alrededor de su centro, ni cuando se refleja a través de una línea que une esquinas opuestas o una línea que une los puntos medios de lados opuestos. ¿Cuál es el número total de posibles códigos de escaneo simétricos?

A scanning code consists of a

7 \times 7

grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of

49

squares. A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of

90^\circ

counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides. What is the total number of possible symmetric scanning codes?

510

1022

8190

8192

65{,}534

Respuesta: B

Conceptos:simetría conteo básico

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Las simetrías requeridas obligan a que cada cuadrado de una órbita de rotación-reflexión comparta un color

The required symmetries force every square in one rotation-reflection orbit to share a color

Pista grande:

Hay

10

órbitas independientes, cada una libremente negra o blanca; excluye los códigos todo negro y todo blanco

There are

10

independent orbits, each freely black or white; exclude the all-black and all-white codes

Solución:

Bajo el grupo de simetría del cuadrado, las

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celdas se dividen en órbitas, y todas las celdas de una órbita deben tener el mismo color. Demos a una celda coordenadas

(i,j)

respecto del centro, donde

-3\le i,j\le3.

Las rotaciones y reflexiones pueden cambiar signos e intercambiar las coordenadas, así que cada órbita tiene un representante con

0\le i\le j\le3.

Hay

1+2+3+4=10

pares de este tipo. Cada órbita puede ser negra o blanca, lo que da

2^{10}

coloraciones, pero se excluyen las cuadrículas totalmente negra y totalmente blanca. Por tanto, hay

2^{10} - 2 = 1022

códigos de escaneo simétricos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Under the symmetry group of the square, the

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cells break into orbits, and every cell in an orbit must have the same color. Give a cell coordinates

(i,j)

relative to the center, where

-3\le i,j\le3.

Rotations and reflections can change signs and interchange the coordinates, so each orbit has one representative with

0\le i\le j\le3.

There are

1+2+3+4=10

such pairs. Each orbit is black or white, giving

2^{10}

colorings, but the all-black and all-white grids are excluded. So there are

2^{10} - 2 = 1022

symmetric scanning codes.

Thus, the correct answer is B.