2018 AMC 12A Problema 14

Question

La solución de la ecuación

\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,

donde

x

es un número real positivo distinto de

\tfrac13

o

\tfrac12,

se puede escribir como

\tfrac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

p + q

?

The solution to the equation

\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,

where

x

is a positive real number other than

\tfrac13

or

\tfrac12,

can be written as

\tfrac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. What is

p + q?

5

13

17

31

35

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Reescribe ambos lados con una base común:

\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},

y análogamente para

\log_{2x} 8

Rewrite both sides with a common base:

\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},

and similarly for

\log_{2x} 8

Pista grande:

Multiplicar en cruz reduce la ecuación a

(2x)^2 = (3x)^3;

despeja

x

como una fracción irreducible

Cross-multiplying reduces the equation to

(2x)^2 = (3x)^3;

solve for

x

as a reduced fraction

Solución:

Escribiendo ambos logaritmos en base

2:

\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},

así que

2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,

es decir

(2x)^2 = (3x)^3.

Entonces

4x^2 = 27x^3,

lo que da

x = \tfrac{4}{27}.

Como

\gcd(4, 27) = 1,

obtenemos

p + q = 4 + 27 = 31.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing both logarithms in base

2:

\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},

so

2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,

i.e.

(2x)^2 = (3x)^3.

Then

4x^2 = 27x^3,

giving

x = \tfrac{4}{27}.

Since

\gcd(4, 27) = 1,

we get

p + q = 4 + 27 = 31.

Thus, the correct answer is D.