2017 AMC 12A Problema 7

Question

Define una función en los enteros positivos de manera recursiva por

f(1)=2,

f(n)=f(n-1)+1

si

n

es par, y

f(n)=f(n-2)+2

si

n

es impar y mayor que

1.

¿Cuánto vale

f(2017)

?

Define a function on the positive integers recursively by

f(1)=2,

f(n)=f(n-1)+1

if

n

is even, and

f(n)=f(n-2)+2

if

n

is odd and greater than

1.

What is

f(2017)?

2017

2018

4034

4035

4036

Respuesta: B

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Calcula

f(1),f(2),f(3),\ldots

y busca un patrón

Compute

f(1),f(2),f(3),\ldots

and look for a pattern

Pista grande:

Verifica que

f(n)=n+1

satisface ambas reglas recursivas

Check that

f(n)=n+1

satisfies both recursive rules

Solución:

Listando valores:

f(1)=2,

f(2)=f(1)+1=3,

f(3)=f(1)+2=4,

f(4)=f(3)+1=5,

lo que sugiere

f(n)=n+1.

Ambas reglas son consistentes con

f(n)=n+1:

para

n

par,

(n-1)+1+1=n+1,

y para

n

impar,

(n-2)+1+2=n+1.

Como la recursión determina

f

de manera única,

f(2017)=2018.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Listing values:

f(1)=2,

f(2)=f(1)+1=3,

f(3)=f(1)+2=4,

f(4)=f(3)+1=5,

suggesting

f(n)=n+1.

Both rules are consistent with

f(n)=n+1:

for even

n,

(n-1)+1+1=n+1,

and for odd

n,

(n-2)+1+2=n+1.

Since the recursion determines

f

uniquely,

f(2017)=2018.

Thus, the correct answer is B.