2017 AMC 12A Problema 16

Question

En la figura de abajo, se dibujan semicírculos con centros en

A

y

B

y con radios

2

y

1,

respectivamente, en el interior de, y compartiendo bases con, un semicírculo de diámetro

\overline{JK}.

Los dos semicírculos más pequeños son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente al semicírculo más grande. Se dibuja un círculo con centro en

P

tangente externamente a los dos semicírculos pequeños y tangente internamente al semicírculo más grande. ¿Cuál es el radio del círculo con centro en

P

?

In the figure below, semicircles with centers at

A

and

B

and with radii

2

and

1,

respectively, are drawn in the interior of, and sharing bases with, a semicircle with diameter

\overline{JK}.

The two smaller semicircles are externally tangent to each other and internally tangent to the largest semicircle. A circle centered at

P

is drawn externally tangent to the two smaller semicircles and internally tangent to the largest semicircle. What is the radius of the circle centered at

P?

\dfrac{3}{4}

\dfrac{6}{7}

\dfrac{1}{2}\sqrt3

\dfrac{5}{8}\sqrt2

\dfrac{11}{12}

Respuesta: B

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras geometría analítica

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Sea

C

el centro del semicírculo grande; entonces

PA=2+r,

PB=1+r,

PC=3-r

Let

C

be the center of the large semicircle; then

PA=2+r,

PB=1+r,

PC=3-r

Pista grande:

Traza una perpendicular desde

P

a

\overline{JK}

e iguala las tres expresiones para el cuadrado de su altura

Drop a perpendicular from

P

to

\overline{JK}

and set the three expressions for its squared height equal

Solución:

El semicírculo grande tiene radio

3

y centro

C,

el punto medio de

\overline{JK}.

Colocando

J

en el origen,

A=2,

B=5,

C=3,

K=6

a lo largo de la base. Sea

r

el radio del círculo en

P.

Por tangencia,

PA=2+r,

PB=1+r,

y

PC=3-r.

Trazando una perpendicular desde

P

a la base en la posición horizontal

3+x

con altura

h,

el teorema de Pitágoras da

\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}

Igualar la primera expresión con la del medio da

5r-x=3,

mientras que igualar la última con la del medio da

2r+x=3.

Al sumarlas resulta

7r=6,

así que

r=\dfrac{6}{7}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large semicircle has radius

3

and center

C,

the midpoint of

\overline{JK}.

Placing

J

at the origin,

A=2,

B=5,

C=3,

K=6

along the base. Let

r

be the radius of the circle at

P.

By tangency,

PA=2+r,

PB=1+r,

and

PC=3-r.

Dropping a perpendicular from

P

to the base at horizontal position

3+x

with height

h,

the Pythagorean theorem gives

\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}

Equating the first expression with the middle one gives

5r-x=3,

while equating the last expression with the middle one gives

2r+x=3.

Adding yields

7r=6,

so

r=\dfrac{6}{7}.

Thus, the correct answer is B.