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2017 AMC 12A Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2017 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Sea f(x)=sin⁡x+2cos⁡x+3tan⁡x,f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x, usando la medida en radianes para la variable x.x. ¿En qué intervalo se encuentra el menor valor positivo de xx para el cual f(x)=0f(x)=0?
Let f(x)=sin⁡x+2cos⁡x+3tan⁡x,f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x, using radian measure for the variable x.x. In what interval does the smallest positive value of xx for which f(x)=0f(x)=0 lie?
(0,1)(0,1)
(1,2)(1,2)
(2,3)(2,3)
(3,4)(3,4)
(4,5)(4,5)
Respuesta: D
Conceptos:trigonometría
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Para 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} los tres términos son positivos, así que ahí no hay raíz
For 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} all three terms are positive, so there is no root there
Pista grande:
Justo después de π2\dfrac{\pi}{2} el término 3tan⁡x3\tan x hace ff negativo; localiza el primer cambio de signo después de π\pi
Just past π2\dfrac{\pi}{2} the term 3tan⁡x3\tan x makes ff negative; locate the first sign change after π\pi
Solución:
Para 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} los tres términos son positivos, así que f(x)>0.f(x)\gt0. Para π2<x<π,\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi, toma s=sin⁡x>0s=\sin x\gt0 y t=−cos⁡x>0.t=-\cos x\gt0. Como 0<t≤1,0\lt t\le1, f(x)=s−2t−3st=−2t−s(3t−1)<0. \begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0. \end{aligned} Así que no hay raíz antes de x=π.x=\pi.
En x=π,x=\pi, f(π)=0+2(−1)+0=−2<0.f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0. En x=5π4,x=\dfrac{5\pi}{4}, tan⁡x=1\tan x=1 así que f=−22+3>0.f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0. Por el teorema del valor intermedio la menor raíz positiva está en (π,5π4).\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).
Como π>3\pi\gt3 y 5π4<4,\dfrac{5\pi}{4}\lt4, este intervalo está dentro de (3,4).(3,4).
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} all three terms are positive, so f(x)>0.f(x)\gt0. For π2<x<π,\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi, set s=sin⁡x>0s=\sin x\gt0 and t=−cos⁡x>0.t=-\cos x\gt0. Since 0<t≤1,0\lt t\le1, f(x)=s−2t−3st=−2t−s(3t−1)<0. \begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0. \end{aligned} Thus no root occurs before x=π.x=\pi.
At x=π,x=\pi, f(π)=0+2(−1)+0=−2<0.f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0. At x=5π4,x=\dfrac{5\pi}{4}, tan⁡x=1\tan x=1 so f=−22+3>0.f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0. By the intermediate value theorem the smallest positive root lies in (π,5π4).\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).
Since π>3\pi\gt3 and 5π4<4,\dfrac{5\pi}{4}\lt4, this interval sits inside (3,4).(3,4).
Thus, the correct answer is D.

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