2017 AMC 12A Problema 10

Question

Chloé elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo

[0,2017].

De forma independiente, Laurent elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo

[0,4034].

¿Cuál es la probabilidad de que el número de Laurent sea mayor que el de Chloé?

Chloé chooses a real number uniformly at random from the interval

[0,2017].

Independently, Laurent chooses a real number uniformly at random from the interval

[0,4034].

What is the probability that Laurent’s number is greater than Chloé’s number?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{7}{8}

Divide según si el número de Laurent está por encima o por debajo de

2017

Split on whether Laurent’s number is above or below

2017

Si está por encima de

2017

siempre gana; si está por debajo, es un lanzamiento de moneda simétrico

If it is above

2017

he always wins; if below, it is a symmetric coin flip

Con probabilidad

\dfrac{1}{2},

el número de Laurent cae en

[2017,4034],

que supera cualquier número que Chloé pudiera elegir, así que gana con certeza.

Con la otra probabilidad

\dfrac{1}{2},

el número de Laurent cae en

[0,2017],

que coincide con el intervalo de Chloé; por simetría es mayor la mitad de las veces. La probabilidad total es

\dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With probability

\dfrac{1}{2},

Laurent’s number lies in

[2017,4034],

which exceeds any number Chloé could choose, so he wins for certain.

With the other probability

\dfrac{1}{2},

Laurent’s number lies in

[0,2017],

matching Chloé’s interval; by symmetry he is larger half the time. The total probability is

\dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 10 en otros años