2016 AMC 12A Problema 8

Question

¿Cuál es el área de la región sombreada del rectángulo

8\times 5

dado?

What is the area of the shaded region of the given

8\times 5

rectangle?

4\tfrac{3}{4}

5

5\tfrac{1}{4}

6\tfrac{1}{2}

8

Respuesta: D

Conceptos:área del triángulo simetría

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Cada segmento dibujado pasa por el centro del rectángulo.

Every drawn segment passes through the center of the rectangle

Pista grande:

La diagonal principal divide la región sombreada en cuatro triángulos, cada uno con base

1

.

The main diagonal splits the shaded region into four triangles, each with base

1

Solución:

La diagonal del rectángulo, desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, divide la región sombreada en cuatro triángulos, que se encuentran todos en el centro del rectángulo.

Dos de estos triángulos tienen base horizontal de longitud

1

y altura

\frac12\cdot 5=\frac52,

y los otros dos tienen base vertical de longitud

1

y altura

\frac12\cdot 8=4.

El área total es

\begin{gathered} 2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot\dfrac52\\ {}+2\cdot\dfrac12\cdot 1\cdot 4\\ =\dfrac52+4\\ =\dfrac{13}{2}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The diagonal of the rectangle from the upper-left corner to the lower-right corner divides the shaded region into four triangles, all meeting at the center of the rectangle.

Two of these triangles have a horizontal base of length

1

and altitude

\frac12\cdot 5=\frac52,

and the other two have a vertical base of length

1