2016 AMC 12A Problema 7

Question

¿Cuál de estas opciones describe la gráfica de

x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)

?

Which of these describes the graph of

x^2(x+y+1)=y^2(x+y+1)?

dos rectas paralelas

two parallel lines

dos rectas que se cortan

two intersecting lines

tres rectas que pasan todas por un punto común

three lines that all pass through a common point

tres rectas que no pasan todas por un punto común

three lines that do not all pass through a common point

una recta y una parábola

a line and a parabola

Mueve todo a un lado y factoriza

x+y+1

.

Move everything to one side and factor out

x+y+1

(x-y)(x+y)(x+y+1)=0

es la unión de tres rectas.

(x-y)(x+y)(x+y+1)=0

is the union of three lines

Al pasar todos los términos a un lado se obtiene

(x^2-y^2)(x+y+1)=0,

que se factoriza como

(x-y)(x+y)(x+y+1)=0.

Por lo tanto, la gráfica es la unión de las rectas

x=y,

x=-y,

y

x+y+1=0.

Las dos primeras rectas se cortan en el origen, pero la tercera recta

x+y=-1

es paralela a

x+y=0

y no pasa por el origen. Así que la gráfica consta de tres rectas que no pasan todas por un punto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Moving all terms to one side gives

(x^2-y^2)(x+y+1)=0,

which factors as

(x-y)(x+y)(x+y+1)=0.

The graph is therefore the union of the lines

x=y,

x=-y,

and

x+y+1=0.

The first two lines intersect at the origin, but the third line

x+y=-1

is parallel to

x+y=0

and does not pass through the origin. So the graph consists of three lines that do not all pass through a common point.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 7 en otros años