2016 AMC 12A Problema 16

Question

Las gráficas de

y=\log_3 x,

y=\log_x 3,

y=\log_{\frac{1}{3}} x,

y

y=\log_x\dfrac{1}{3}

se trazan en el mismo sistema de ejes. ¿Cuántos puntos del plano con coordenada

x

positiva están sobre dos o más de las gráficas?

The graphs of

y=\log_3 x,

y=\log_x 3,

y=\log_{\frac{1}{3}} x,

and

y=\log_x\dfrac{1}{3}

are plotted on the same set of axes. How many points in the plane with positive

x

-coordinates lie on two or more of the graphs?

2

3

4

5

6

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea

u=\log_3 x

y reescribe las cuatro como

u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u

.

Let

u=\log_3 x

and rewrite all four as

u,\ \dfrac1u,\ -u,\ -\dfrac1u

Pista grande:

Halla cada

x

donde dos de estas cuatro expresiones sean iguales.

Find every

x

where two of these four expressions are equal

Solución:

Sea

u=\log_3 x.

Entonces

\log_x 3=\dfrac1u,

\log_{\frac{1}{3}}x=-u,

y

\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.

Dos gráficas se encuentran donde dos de

u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u

son iguales para algún valor válido

x\gt 0.

Igualar

u=\dfrac1u

da

u=\pm1,

así que

x=3

o

x=\dfrac13;

igualar

-u=-\dfrac1u

da los mismos valores. Igualar

u=-u

da

u=0,

es decir

x=1,

donde

\log_3 x

y

\log_{\frac{1}{3}}x

son ambos

0.

Los emparejamientos restantes no tienen solución real.

Los puntos de intersección distintos son

(1,0),

(3,1),

\left(\dfrac13,-1\right),

(3,-1),

y

\left(\dfrac13,1\right),

así que hay

5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

u=\log_3 x.

Then

\log_x 3=\dfrac1u,

\log_{\frac{1}{3}}x=-u,

and

\log_x\dfrac13=-\dfrac1u.

Two graphs meet where two of

u,\dfrac1u,-u,-\dfrac1u

are equal for some valid

x\gt 0.

Setting

u=\dfrac1u

gives

u=\pm1,

so

x=3

or

x=\dfrac13;

setting

-u=-\dfrac1u

gives the same values. Setting

u=-u

gives

u=0,

i.e.

x=1,

where

\log_3 x

and

\log_{\frac{1}{3}}x

are both

0.

The remaining pairings have no real solution.

The distinct intersection points are

(1,0),

(3,1),

\left(\dfrac13,-1\right),

(3,-1),

and

\left(\dfrac13,1\right),

so there are

5.

Thus, the correct answer is D.