2016 AMC 12A Problema 15

Question

Las circunferencias con centros

P,

Q,

y

R,

de radios

1,

2,

y

3,

respectivamente, están del mismo lado de la recta

l

y son tangentes a

l

en

P',

Q',

y

R',

respectivamente, con

Q'

entre

P'

y

R'.

La circunferencia con centro

Q

es tangente exterior a cada una de las otras dos. ¿Cuál es el área del

\triangle PQR

?

Circles with centers

P,

Q,

and

R,

having radii

1,

2,

and

3,

respectively, lie on the same side of line

l

and are tangent to

l

at

P',

Q',

and

R',

respectively, with

Q'

between

P'

and

R'.

The circle with center

Q

is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of

\triangle PQR?

0

\sqrt{\dfrac{2}{3}}

1

\sqrt{6}-\sqrt{2}

\sqrt{\dfrac{3}{2}}

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

La distancia horizontal entre dos puntos de tangencia es

\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}

.

The horizontal distance between two tangent points is

\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}

Pista grande:

Coloca

P,Q,R

a alturas

1,2,3

y usa la fórmula del cordón.

Place

P,Q,R

at heights

1,2,3

and use the shoelace formula

Solución:

Los centros están a alturas

1,

2,

y

3

sobre la recta

l.

Como la circunferencia

Q

es tangente exterior a la circunferencia

P,

tenemos

PQ=3,

por lo que la distancia horizontal es

P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.

Como la circunferencia

Q

es tangente a la circunferencia

R,

tenemos

QR=5,

así que

Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.

Coloca

P=(0,1),

Q=(\sqrt8,2),

y

R=(\sqrt8+\sqrt{24},3).

Por la fórmula del cordón, el área es

\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers lie at heights

1,

2,

and

3

above line

l.

Since circle

Q

is externally tangent to circle

P,

we have

PQ=3,

so the horizontal distance is

P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.

Since circle

Q

is tangent to circle

R,