2015 AMC 12B Problema 16

Question

Un hexágono regular con lados de longitud

6

tiene un triángulo isósceles unido a cada lado. Cada uno de estos triángulos tiene dos lados de longitud

8.

Los triángulos isósceles se pliegan para formar una pirámide con el hexágono como base de la pirámide. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

A regular hexagon with sides of length

6

has an isosceles triangle attached to each side. Each of these triangles has two sides of length

8.

The isosceles triangles are folded to make a pyramid with the hexagon as the base of the pyramid. What is the volume of the pyramid?

18

162

36\sqrt{21}

18\sqrt{138}

54\sqrt{21}

En un hexágono regular de lado

6,

la distancia del centro a un vértice también es

6

In a regular hexagon of side

6,

the distance from the center to a vertex is also

6

El ápice está sobre el centro a una altura

\sqrt{8^2 - 6^2};

usa

V = \dfrac13 \cdot (\text{área de la base}) \cdot h

The apex sits above the center at height

\sqrt{8^2 - 6^2};

use

V = \dfrac13 \cdot (\text{base area}) \cdot h

La distancia del centro del hexágono a un vértice es

6.

Una arista lateral tiene longitud

8,

así que la altura de la pirámide es

\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt7.

El área del hexágono es

\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 6^2 = 54\sqrt3.

Así el volumen es

\dfrac13 \cdot 54\sqrt3 \cdot 2\sqrt7 = 36\sqrt{21}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The distance from the hexagon’s center to a vertex is

6.

A lateral edge has length

8,

so the pyramid’s height is

\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt7.

The hexagon’s area is

\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 6^2 = 54\sqrt3.

Thus the volume is

\dfrac13 \cdot 54\sqrt3 \cdot 2\sqrt7 = 36\sqrt{21}.

Thus, the correct answer is C.

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