2015 AMC 12B Problema 14

Question

Un círculo de radio

2

está centrado en

A.

Un triángulo equilátero de lado

4

tiene un vértice en

A.

¿Cuál es la diferencia entre el área de la región que está dentro del círculo pero fuera del triángulo y el área de la región que está dentro del triángulo pero fuera del círculo?

A circle of radius

2

is centered at

A.

An equilateral triangle with side

4

has a vertex at

A.

What is the difference between the area of the region that lies inside the circle but outside the triangle and the area of the region that lies inside the triangle but outside the circle?

8 - \pi

\pi + 2

2\pi - \dfrac{\sqrt2}{2}

4(\pi - \sqrt3)

2\pi + \dfrac{\sqrt3}{2}

Respuesta: D

Conceptos:descomposición de áreas área del círculo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Sea

z

el área de solapamiento; la diferencia pedida es

(\text{círculo} - z) - (\text{triángulo} - z)

Let

z

be the overlap area; the requested difference is

(\text{circle} - z) - (\text{triangle} - z)

Pista grande:

Eso es igual al área del círculo menos el área del triángulo; usa

\pi r^2

y

\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

.

That equals circle area minus triangle area; use

\pi r^2

and

\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

Solución:

Sea

z

el área compartida por el círculo y el triángulo. La diferencia pedida es

\begin{aligned} &(\text{círculo} - z) - (\text{triángulo} - z) \\ &= \text{círculo} - \text{triángulo}. \end{aligned}

El círculo tiene área

\pi \cdot 2^2 = 4\pi,

y el triángulo equilátero tiene área

\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt3.

La diferencia es

4\pi - 4\sqrt3 = 4(\pi - \sqrt3).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

z

be the area shared by the circle and triangle. The requested difference is

\begin{aligned} &(\text{circle} - z) - (\text{triangle} - z) \\ &= \text{circle} - \text{triangle}. \end{aligned}

The circle has area

\pi \cdot 2^2 = 4\pi,

and the equilateral triangle has area

\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt3.

The difference is

4\pi - 4\sqrt3 = 4(\pi - \sqrt3).

Thus, the correct answer is D.