2015 AMC 12A Problema 5

Question

Amelia necesita estimar la cantidad

\dfrac{a}{b}-c,

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos grandes. Redondea cada uno de los enteros para que el cálculo sea más fácil de hacer mentalmente. ¿En cuál de estas situaciones su respuesta será necesariamente mayor que el valor exacto de

\dfrac{a}{b}-c

?

Amelia needs to estimate the quantity

\dfrac{a}{b}-c,

where

a,

b,

and

c

are large positive integers. She rounds each of the integers so that the calculation will be easier to do mentally. In which of these situations will her answer necessarily be greater than the exact value of

\dfrac{a}{b}-c?

Redondea los tres números hacia arriba.

She rounds all three numbers up.

Redondea

a

y

b

hacia arriba, y redondea

c

hacia abajo.

She rounds

a

and

b

up, and she rounds

c

down.

Redondea

a

y

c

hacia arriba, y redondea

b

hacia abajo.

She rounds

a

and

c

up, and she rounds

b

down.

Redondea

a

hacia arriba, y redondea

b

y

c

hacia abajo.

She rounds

a

up, and she rounds

b

and

c

down.

Redondea

c

hacia arriba, y redondea

a

y

b

hacia abajo.

She rounds

c

up, and she rounds

a

and

b

down.

Respuesta: D

Conceptos:estimación desigualdad

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Aumentar

a

o disminuir

b

hace

\dfrac{a}{b}

más grande

Increasing

a

or decreasing

b

makes

\dfrac{a}{b}

larger

Pista grande:

Disminuir

c

hace

-c

más grande; encuentra la opción donde cada cambio eleva el resultado

Decreasing

c

makes

-c

larger; find the choice where every change raises the result

Solución:

Para hacer

\dfrac{a}{b}

más grande, redondea el numerador

a

hacia arriba y el denominador

b

hacia abajo. Para hacer

-c

más grande, redondea

c

hacia abajo.

Solo la opción

\text{(D)}

hace las tres cosas: redondea

a

hacia arriba mientras redondea

b

y

c

hacia abajo, así que cada cambio empuja la estimación por encima del valor exacto. En las otras opciones al menos un cambio va en la dirección equivocada, así que no se garantiza que la estimación sea mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

To make

\dfrac{a}{b}

larger, round the numerator

a

up and the denominator

b

down. To make

-c

larger, round

c

down.

Only choice

\text{(D)}

does all three: it rounds

a

up while rounding

b

and

c

down, so every change pushes the estimate above the exact value. In the other choices at least one change works the wrong way, so the estimate is not guaranteed to be larger.

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12A Problema 5

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años