2015 AMC 12A Problema 16

Question

El tetraedro

ABCD

tiene

AB = 5,

AC = 3,

BC = 4,

BD = 4,

AD = 3,

y

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.

¿Cuál es el volumen del tetraedro?

Tetrahedron

ABCD

has

AB = 5,

AC = 3,

BC = 4,

BD = 4,

AD = 3,

and

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.

What is the volume of the tetrahedron?

3\sqrt{2}

2\sqrt{5}

\dfrac{24}{5}

3\sqrt{3}

\dfrac{24}{5}\sqrt{2}

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D volumen triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Los triángulos

ABC

y

ABD

son ambos triángulos rectángulos

3

-

4

-

5

que comparten el lado

AB

Triangles

ABC

and

ABD

are both

3

-

4

-

5

right triangles sharing the edge

AB

Pista grande:

Traza alturas desde

C

y

D

hacia

AB;

su pie común muestra que

CD

es perpendicular a la base

ABC

Drop altitudes from

C

and

D

to

AB;

their common foot shows

CD

is perpendicular to base

ABC

Solución:

Los triángulos

ABC

y

ABD

son triángulos rectángulos

3

-

4

-

5

con área

6

e hipotenusa común

AB.

Sea

E

el pie de la altura desde

C

hacia

AB;

entonces

CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.

De igual modo, la altura desde

D

llega a

AB

en el mismo punto

E

con

DE = \dfrac{12}{5}.

El triángulo

CDE

tiene lados

\dfrac{12}{5},

\dfrac{12}{5},

y

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},

así que es un triángulo rectángulo isósceles con el ángulo recto en

E.

Por lo tanto

DE \perp CE

y

DE \perp AB,

lo que hace que

DE

sea perpendicular al plano de

ABC.

El volumen del tetraedro es

\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}

= \dfrac{24}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangles

ABC

and

ABD

are

3

-

4

-

5

right triangles with area

6

and common hypotenuse

AB.

Let

E

be the foot of the altitude from

C

to

AB;

then

CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.

Likewise the altitude from

D

meets

AB

at the same point

E

with

DE = \dfrac{12}{5}.

Triangle

CDE

has sides

\dfrac{12}{5},

\dfrac{12}{5},

and

CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},

so it is an isosceles right triangle with the right angle at

E.

Thus

DE \perp CE

and

DE \perp AB,

making

DE

perpendicular to the plane of

ABC.

The tetrahedron’s volume is

\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}

= \dfrac{24}{5}.

Thus, the correct answer is C.