¿Cuál es el valor de a para el cual (1)/(log_2 a) + (1)/(log_3 a) + (1)/(log_4 a) = 1?

2015 AMC 12A Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2015 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

¿Cuál es el valor de

a

para el cual

\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?

What is the value of

a

for which

\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?

9

12

18

24

36

Conceptos:logaritmo

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b

La suma se convierte en

\log_a(2\cdot 3\cdot 4)

The sum becomes

\log_a(2\cdot 3\cdot 4)

Por la fórmula de cambio de base,

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.

Por lo tanto

\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}

De esto se sigue que

a = 24.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the change-of-base formula,

\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.

Therefore

\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}

It follows that

a = 24.

Thus, the correct answer is D.